東京大学用「方法」：理系 数学（微分・積分）

東京大学用「方法」：理系数学（微分・積分）

2022/12/21

志望校(学部別)過去問分

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東京大学　理系

数学（微分・積分）

時間：大問6問で150分。一問当たり25分ですが、全問完答を狙うのではなく、解けそうな問題に時間をかけて丁寧に取り組みましょう。

得点配分：大問6問で120点。おそらく一問20点ずつ。（共通テスト：110点、二次試験：440点）

設問形式：

・すべて記述式。

・各大問は基本的に2～3個の小問から構成されています。

・微分積分を用いてグラフの最大最小を求めたり、グラフと接線とで囲まれる面積や、図形の通過領域の面積を求めたりするなどの形で出題されています。

傾向：

・微分、積分の問題は、毎年1問は出題されているようです。

・他の、数列や整数、図形などの問題に比べて解き易いものが多いですので、ミスが無いよう落ち着いて取り組み、確実に点を取っていきましょう。

・微分積分の対象となる関数は三角関数、対数、ルートなどの基本的なもので、特殊な公式やテクニックなどを必要とするものは出題されていません。

方法：

・教科書に書かれているレベルの基本的な微分積分は確実に。（微分される関数は三角関数、対数、ルートなどの基本的なもので、積分についても、部分積分や置換積分、偶関数奇関数の性質の利用、三角関数に関する積分などが殆どであり、教科書に載っていないような特殊な公式やテクニックなどを必要とするものは出題されていません。それだけに、ミスが命取りになりかねませんので、教科書レベルの基本的な関数の微分積分やテクニックは、抜けのないよう自由自在に使いこなせるようにしておきましょう。）

・関数の性質の調べ方やグラフの書き方はしっかり練習しておく。（微分によって、与えられた関数の増減や最大値最小値を求めることについては繰り返し練習してミスなく確実にできるようにしておきましょう。その際、パラメーターの範囲なども見落とさないように注意しましょう。そして、いつでも増減表を作成してグラフのイメージを描けるようにしておきましょう。増減表を作成すること自体が目的ではなく、与えられた関数の増減の変化が解ればよいだけですので、きれいに作る必要は全くありません。導関数が０になる点で元の関数の傾きが０になり、その前後の符号が変われば極値である、というような増減表の意味は確認しておきましょう。）

・積分変数の変換に注意。（積分変数の変換はよく練習をしておきましょう。xとyがtなどで媒介変数表示されている場合や、角度θの関数になっている場合の面積を求めるなど、置換積分が必要な場合も多いです。特に定積分の置換積分では、積分範囲の対応にも十分注意しましょう。）

・極限の意味や求め方、微分の定義なども、しっかりと押さえておく。（説明しにくい解答を、論理的に作成する上で「lim」を適切に使用することが有用な場合もあるので（2020年度大問1など）、十分に理解しておきましょう。ただ計算ができるだけではなく、導関数の意味や定義からの求め方についても、今一度しっかりと確認しておきましょう。）

「他言無用の最終兵器」：

・微分積分は、式の変形だけでなく図形で考えましょう。（微分積分の問題では計算力も必要ですが、式の変形や公式を追うことばかりにとらわれずに、グラフをイメージし、図形的な意味を考えながら解き進めるようにしましょう。例えば、2020年度の大問3では、パラメーター表示された関数の性質や最大値を求めた後、そのグラフから成る図形を移動させた通過領域の面積を求めますが、この時、グラフの形状を確認しながら進めていくと、積分を半円の面積などに置き換えて算出することができます。）

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